CS231n(3)——最优化笔记

本系列笔记为个人在学习CS231n课程时对重要知识点的记录，笔记内容来源参考：斯坦福CS231n课程；斯坦福CS231n官方笔记；知乎CS231n官方笔记授权翻译专栏

在上一节中，我们介绍了图像分类任务中的两个关键部分：

基于参数的评分函数。该函数将原始图像像素映射为分类评分值（例如：一个线性函数）。

损失函数。该函数能够根据分类评分和训练集图像数据实际分类的一致性，衡量某个具体参数集的质量好坏。损失函数有多种版本和不同的实现方式（例如：Softmax或SVM）。

对于图像数据 $x_i$ ，如果基于参数集 $W$ 做出的分类预测与真实情况比较一致，那么计算出来的损失值 $L$ 就很低。现在介绍第三个，也是最后一个关键部分：最优化Optimization。最优化是寻找能使得损失函数值最小化的参数 $W$ 的过程。

最优化Optimization

损失函数可以量化某个具体权重集W的质量。而最优化的目标就是找到能够最小化损失函数值的W 。我们现在就朝着这个目标前进，实现一个能够最优化损失函数的方法。对于有一些经验的同学，这节课看起来有点奇怪，因为使用的例子（SVM 损失函数）是一个凸函数问题。但是要记得，最终的目标是不仅仅对凸函数做最优化，而是能够最优化一个神经网络，而对于神经网络是不能简单的使用凸函数的最优化技巧的。

策略1：一个差劲的初始方案：随机搜索

既然确认参数集W的好坏蛮简单的，那第一个想到的（差劲）方法，就是可以随机尝试很多不同的权重，然后看其中哪个最好。

在验证集上表现最好的权重W跑测试集的准确率是15.5%，而完全随机猜的准确率是10%，如此看来，这个准确率对于这样一个不经过大脑的策略来说，还算不错（o(╥﹏╥)o）。

核心思路：迭代优化。当然，我们肯定能做得更好些。核心思路是：虽然找到最优的权重W非常困难，甚至是不可能的（尤其当W中存的是整个神经网络的权重的时候），但如果问题转化为：对一个权重矩阵集W取优，使其损失值稍微减少。那么问题的难度就大大降低了。换句话说，我们的方法从一个随机的W开始，然后对其迭代取优，每次都让它的损失值变得更小一点。我们的策略是从随机权重开始，然后迭代取优，从而获得更低的损失值。

蒙眼徒步者的比喻：一个助于理解的比喻是把你自己想象成一个蒙着眼睛的徒步者，正走在山地地形上，目标是要慢慢走到山底。在CIFAR-10的例子中，这山是30730维的（因为W是3073x10）。我们在山上踩的每一点都对应一个的损失值，该损失值可以看做该点的海拔高度。

策略2：随机本地搜索

第一个策略可以看做是每走一步都尝试几个随机方向，如果某个方向是向山下的，就向该方向走一步。这次我们从一个随机 $W$ 开始，然后生成一个随机的扰动 $\delta W$ ，只有当 $W+\delta W$ 的损失值变低，我们才会更新。

使用同样的数据（1000），这个方法可以得到21.4%的分类准确率。这个比策略一好，但是依然过于浪费计算资源。

策略3：跟随梯度

前两个策略中，我们是尝试在权重空间中找到一个方向，沿着该方向能降低损失函数的损失值。其实不需要随机寻找方向，因为可以直接计算出最好的方向，这就是从数学上计算出最陡峭的方向。这个方向就是损失函数的梯度（gradient）。在蒙眼徒步者的比喻中，这个方法就好比是感受我们脚下山体的倾斜程度，然后向着最陡峭的下降方向下山。

在一维函数中，斜率是函数在某一点的瞬时变化率。梯度是函数的斜率的一般化表达，它不是一个值，而是一个向量。在输入空间中，梯度是各个维度的斜率组成的向量（或者称为导数derivatives）。对一维函数的求导公式如下：

当函数有多个参数的时候，我们称导数为偏导数。而梯度就是在每个维度上偏导数所形成的向量。

梯度计算

计算梯度有两种方法：一个是缓慢的近似方法（数值梯度法），但实现相对简单。另一个方法（分析梯度法）计算迅速，结果精确，但是实现时容易出错，且需要使用微分。现在对两种方法进行介绍：

数值梯度法

根据上面的梯度公式，代码对所有维度进行迭代，在每个维度上产生一个很小的变化h，通过观察函数值变化，计算函数在该维度上的偏导数。最后，所有的梯度存储在变量grad中。

实践考量：注意在数学公式中，h的取值是趋近于0的，然而在实际中，用一个很小的数值（比如例子中的1e-5）就足够了。在不产生数值计算出错的理想前提下，你会使用尽可能小的h。还有，实际中用中心差值公式。

可以使用上面这个公式来计算任意函数在任意点上的梯度。梯度告诉我们损失函数在每个维度上的斜率，以此来进行更新。

在梯度负方向上更新：在上面的分析中，为了计算W_new，要注意我们是向着梯度df的负方向去更新，这是因为我们希望损失函数值是降低而不是升高。

步长的影响：梯度指明了函数在哪个方向是变化率最大的，但是没有指明在这个方向上应该走多远。在后续的课程中可以看到，选择步长（也叫作学习率）将会是神经网络训练中最重要（也是最头痛）的超参数设定之一。还是用蒙眼徒步者下山的比喻，这就好比我们可以感觉到脚朝向的不同方向上，地形的倾斜程度不同。但是该跨出多长的步长呢？不确定。如果谨慎地小步走，情况可能比较稳定但是进展较慢（这就是步长较小的情况）。相反，如果想尽快下山，那就大步走吧，但结果也不一定尽如人意。在上面的代码中就能看见反例，在某些点如果步长过大，反而可能越过最低点导致更高的损失值。步长（后面会称其为学习率）将会是我们在调参中最重要的超参数之一。

效率问题：你可能已经注意到，计算数值梯度的复杂性和参数的量线性相关。现代神经网络很容易就有上千万的参数，因此这个问题只会越发严峻。显然这个策略不适合大规模数据，我们需要更好的策略。

分析梯度法

使用有限差值近似计算梯度比较简单，但缺点在于终究只是近似（因为我们对于h值是选取了一个很小的数值，但真正的梯度定义中h趋向0的极限），且耗费计算资源太多。第二个梯度计算方法是利用微分来分析，能得到计算梯度的公式（不是近似），用公式计算梯度速度很快，唯一不好的就是实现的时候容易出错。为了解决这个问题，在实际操作时常常将分析梯度法的结果和数值梯度法的结果作比较，以此来检查其实现的正确性，这个步骤叫做梯度检查。

梯度下降

普通版本

现在可以计算损失函数的梯度了，程序重复地计算梯度然后对参数进行更新，这一过程称为梯度下降，他的普通版本是这样的：

# 普通的梯度下降
    
    while True:
      weights_grad = evaluate_gradient(loss_fun, data, weights)
      weights += - step_size * weights_grad # 进行梯度更新

这个简单的循环在所有的神经网络核心库中都有。虽然也有其他实现最优化的方法（比如LBFGS），但是到目前为止，梯度下降是对神经网络的损失函数最优化中最常用的方法。课程中，我们会在它的循环细节增加一些新的东西（比如更新的具体公式），但是核心思想不变，那就是我们一直跟着梯度走，直到结果不再变化。

小批量梯度下降

小批量数据梯度下降（Mini-batch gradient descent）：在大规模的应用中（比如ILSVRC挑战赛），训练数据可以达到百万级量级。如果像这样计算整个训练集，来获得仅仅一个参数的更新就太浪费了。一个常用的方法是计算训练集中的小批量（batches）数据。例如，在目前最高水平的卷积神经网络中，一个典型的小批量包含256个例子，而整个训练集是多少呢？一百二十万个。这个小批量数据就用来实现一个参数更新：

# 普通的小批量数据梯度下降
    
    while True:
      data_batch = sample_training_data(data, 256) # 256个数据
      weights_grad = evaluate_gradient(loss_fun, data_batch, weights)
      weights += - step_size * weights_grad # 参数更新

这个方法之所以效果不错，是因为训练集中的数据都是相关的。要理解这一点，可以想象一个极端情况：在ILSVRC中的120万个图像是1000张不同图片的复制（每个类别1张图片，每张图片有1200张复制）。那么显然计算这1200张复制图像的梯度就应该是一样的。对比120万张图片的数据损失的均值与只计算1000张的子集的数据损失均值时，结果应该是一样的。实际情况中，数据集肯定不会包含重复图像，那么小批量数据的梯度就是对整个数据集梯度的一个近似。因此，在实践中通过计算小批量数据的梯度可以实现更快速地收敛，并以此来进行更频繁的参数更新。

小批量数据策略有个极端情况，那就是每个批量中只有1个数据样本，这种策略被称为随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent 简称SGD），有时候也被称为在线梯度下降。这种策略在实际情况中相对少见，因为向量化操作的代码一次计算100个数据比100次计算1个数据要高效很多。即使SGD在技术上是指每次使用1个数据来计算梯度，你还是会听到人们使用SGD来指代小批量数据梯度下降（或者用MGD来指代小批量数据梯度下降，而BGD来指代则相对少见）。小批量数据的大小是一个超参数，但是一般并不需要通过交叉验证来调参。它一般由存储器的限制来决定的，或者干脆设置为同样大小，比如32，64，128等。之所以使用2的指数，是因为在实际中许多向量化操作实现的时候，如果输入数据量是2的倍数，那么运算更快。

小结

首先来看一个流程的总结：

上图数据集中的(x,y)是给定的。权重从一个随机数字开始，且可以改变。在前向传播时，评分函数计算出类别的分类评分并存储在向量f中。损失函数包含两个部分：数据损失和正则化损失。其中，数据损失计算的是分类评分f和实际标签y之间的差异，正则化损失只是一个关于权重的函数。在梯度下降过程中，我们计算权重的梯度（如果愿意的话，也可以计算数据上的梯度），然后使用它们来实现参数的更新。

我们将损失函数比作了一个高维度的最优化地形，并尝试到达它的最底部。最优化的工作过程可以看做一个蒙着眼睛的徒步者希望摸索着走到山的底部。在例子中，可见SVM的损失函数是分段线性的，并且是碗状的。
提出了迭代优化的思想，从一个随机的权重开始，然后一步步地让损失值变小，直到最小。
函数的梯度给出了该函数最陡峭的上升方向。介绍了利用有限的差值来近似计算梯度的方法，该方法实现简单但是效率较低（有限差值就是h，用来计算数值梯度）。
参数更新需要有技巧地设置步长。也叫学习率。如果步长太小，进度稳定但是缓慢，如果步长太大，进度快但是可能有风险。
讨论权衡了数值梯度法和分析梯度法。数值梯度法计算简单，但结果只是近似且耗费计算资源。分析梯度法计算准确迅速但是实现容易出错，而且需要对梯度公式进行推导的数学基本功。因此，在实际中使用分析梯度法，然后使用梯度检查来检查其实现正确与否，其本质就是将分析梯度法的结果与数值梯度法的计算结果对比。
介绍了梯度下降算法，它在循环中迭代地计算梯度并更新参数。